No espaço de trabalho do Google Tag Manager vá em Adicionar uma nova tag:

Escolha o tipo de tag:


Copie e cole o código abaixo dentro do tag manager, substituindo com o número de identificação de sua página no facebook na parte NÚMERO DE ID DA PÁGINA no código:
<script>
(function () {
var el = document.createElement('div');
el.className = 'fb-customerchat';
el.setAttribute('page_id', 'NÚMERO DE ID DA PÁGINA');
document.body.appendChild(el);
})();
window.fbAsyncInit = function () {
FB.init({
xfbml: true,
version: 'v7.0'
});
};
(function (d, s, id) {
var js, fjs = d.getElementsByTagName(s)[0];
if (d.getElementById(id)) return;
js = d.createElement(s);
js.id = id;
js.src = 'https://connect.facebook.net/en_US/sdk/xfbml.customerchat.js';
fjs.parentNode.insertBefore(js, fjs);
}(document, 'script', 'facebook-jssdk'));
</script>

Escolha um acionador:


Com All Pages como acionador, clique em Salvar:

Clique em Enviar:

Escolha Publicar e criar versão e clique em Publicar:
- Preencha o Nome da versão conforme sua preferência.

Pronto, o Messenger está ativo.
Obs: para ter o id de sua página primeiro configure o plugin do messenger no facebook.

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<script>
(function () {
var el = document.createElement('div');
el.className = 'fb-customerchat';
el.setAttribute('page_id', 'NÚMERO DE ID DA PÁGINA');
document.body.appendChild(el);
})();
window.fbAsyncInit = function () {
FB.init({
xfbml: true,
version: 'v7.0'
});
};
(function (d, s, id) {
var js, fjs = d.getElementsByTagName(s)[0];
if (d.getElementById(id)) return;
js = d.createElement(s);
js.id = id;
js.src = 'https://connect.facebook.net/en_US/sdk/xfbml.customerchat.js';
fjs.parentNode.insertBefore(js, fjs);
}(document, 'script', 'facebook-jssdk'));
</script>

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Atualizado em: 19 / 11 / 2021